「４０−３２÷２＝？」小学生「４！」を定式化した

• 「40−32÷2＝？」この問題、解けますか？ - ねとらぼ

Twitterやネットの掲示板などで、こんな問題が話題になっています。みなさんはコレ、パッと見て意味が分かりますか？

    40−32÷2＝？

    小学生「4!」

    理系「よくわかってんじゃん」

    文系「やっぱわかんないか〜ｗ」

　かけ算割り算は先に計算するのが決まりなので、普通に計算すれば答えは24のはず。ところが小学生の「4!」に対し、理系は「よくわかってんじゃん」、文系は「やっぱわかんないか〜」とまるで正反対の反応。え、え、どういうこと!?

文系「階乗でしょ、文系バカにすんな！」

理系「定式化しましょう。」

定式化

a,n を任意の自然数とした時に、

　　小学生「ｎ！」

つまり、

　・・・(1)
　・・・(2)

を満たす X,Y を解きます。
ここで、n が自然数であることと (1),(2) より、X 及び Y は、どちらも a で割り切れる自然数です。
わかりやすくするために、任意の自然数 x,y を用いて

・・・ (3)
・・・ (4)

と表すことにします。これらを (1), (2) に代入すると

・・・ (1)'
・・・ (2)'

となり、(2)' - (1)' は

変形して

また、これを (1)' に代入して

となります。よって、(3), (4) より

となります。
以上より、

　小学生「ｎ！」

が一般化した式です。
n は自然数なので、an が a-1 で割り切れることが条件です。
X,Y は自然数なので、a(n!-n) が a-1 で割り切れることが条件です。

その他

Google Chart API が使いたかっただけとも言う。TeX 形式で

<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx
&chl=\frac{a}{a-1}(n!-n) - (\frac{a}{a-1}(n!-n)-an) \div a = ?" /> 

と書くだけで png 形式の画像にしてくれる。便利。

ついカッとなってつくった

• 理系文系ったー

数値的に解いた方もいらっしゃいました

• naoya_t@hatenablog

(追記)ソースコード

X,Y が自然数である組み合わせを探索するコードを書きました。とりあえず a≦1000000, n≦12 まで。

階乗の求め方は

• nの階乗を求めるプログラムを1行で - gan2 の Ruby 勉強日記

を参考にさせて頂きました。

shogakusei.rb

#!/usr/bin/ruby
def fact(m) (1..m).to_a.inject(1){|r, i| r * i} end
for n in 3..12
  for a in 2..1000000
    if a*(fact(n)-n)%(a-1) == 0 then
      x=a*(fact(n)-n)/(a-1)
      y=a*(fact(n)-n)/(a-1)-a*n
      puts "「#{x} ー #{y} ÷ #{a} ＝？」　小学生「#{n}！」" if y>0
    end
  end
end

実行

yumu$ ruby shogakusei.rb 
「40 ー 32 ÷ 2 ＝？」　小学生「4！」
「30 ー 18 ÷ 3 ＝？」　小学生「4！」
「25 ー 5 ÷ 5 ＝？」　小学生「4！」
「230 ー 220 ÷ 2 ＝？」　小学生「5！」
「138 ー 108 ÷ 6 ＝？」　小学生「5！」
「1428 ー 1416 ÷ 2 ＝？」　小学生「6！」
「1071 ー 1053 ÷ 3 ＝？」　小学生「6！」
「952 ー 928 ÷ 4 ＝？」　小学生「6！」
「833 ー 791 ÷ 7 ＝？」　小学生「6！」
「816 ー 768 ÷ 8 ＝？」　小学生「6！」
「765 ー 675 ÷ 15 ＝？」　小学生「6！」
「756 ー 648 ÷ 18 ＝？」　小学生「6！」
「748 ー 616 ÷ 22 ＝？」　小学生「6！」
「735 ー 525 ÷ 35 ＝？」　小学生「6！」
「731 ー 473 ÷ 43 ＝？」　小学生「6！」
「728 ー 416 ÷ 52 ＝？」　小学生「6！」
「721 ー 103 ÷ 103 ＝？」　小学生「6！」
「10066 ー 10052 ÷ 2 ＝？」　小学生「7！」
「5752 ー 5696 ÷ 8 ＝？」　小学生「7！」
「80624 ー 80608 ÷ 2 ＝？」　小学生「8！」
「60468 ー 60444 ÷ 3 ＝？」　小学生「8！」
「50390 ー 50350 ÷ 5 ＝？」　小学生「8！」
「45351 ー 45279 ÷ 9 ＝？」　小学生「8！」
「725742 ー 725724 ÷ 2 ＝？」　小学生「9！」
「483828 ー 483792 ÷ 4 ＝？」　小学生「9！」
「403190 ー 403100 ÷ 10 ＝？」　小学生「9！」
「378648 ー 378432 ÷ 24 ＝？」　小学生「9！」
「368130 ー 367500 ÷ 70 ＝？」　小学生「9！」
「364624 ー 362752 ÷ 208 ＝？」　小学生「9！」
「363078 ー 347292 ÷ 1754 ＝？」　小学生「9！」
「362940 ー 315600 ÷ 5260 ＝？」　小学生「9！」
「362894 ー 220892 ÷ 15778 ＝？」　小学生「9！」
「7257580 ー 7257560 ÷ 2 ＝？」　小学生「10！」
「5443185 ー 5443155 ÷ 3 ＝？」　小学生「10！」
「4354548 ー 4354488 ÷ 6 ＝？」　小学生「10！」
「3991669 ー 3991559 ÷ 11 ＝？」　小学生「10！」
「3958680 ー 3958560 ÷ 12 ＝？」　小学生「10！」
「3793735 ー 3793505 ÷ 23 ＝？」　小学生「10！」
「3694768 ー 3694208 ÷ 56 ＝？」　小学生「10！」
「3661779 ー 3660669 ÷ 111 ＝？」　小学生「10！」
「3658780 ー 3657560 ÷ 122 ＝？」　小学生「10！」
「3643785 ー 3641355 ÷ 243 ＝？」　小学生「10！」
「3634788 ー 3628728 ÷ 606 ＝？」　小学生「10！」
「3631789 ー 3619679 ÷ 1211 ＝？」　小学生「10！」
「3630000 ー 3600000 ÷ 3000 ＝？」　小学生「10！」
「3629395 ー 3569405 ÷ 5999 ＝？」　小学生「10！」
「3629032 ー 3479072 ÷ 14996 ＝？」　小学生「10！」
「3628911 ー 3329001 ÷ 29991 ＝？」　小学生「10！」
「3628900 ー 3299000 ÷ 32990 ＝？」　小学生「10！」
「3628845 ー 2969055 ÷ 65979 ＝？」　小学生「10！」
「3628812 ー 1979352 ÷ 164946 ＝？」　小学生「10！」
「3628801 ー 329891 ÷ 329891 ＝？」　小学生「10！」
「79833578 ー 79833556 ÷ 2 ＝？」　小学生「11！」
「43545588 ー 43545456 ÷ 12 ＝？」　小学生「11！」
「41293230 ー 41292900 ÷ 30 ＝？」　小学生「11！」
「40041920 ー 40038400 ÷ 320 ＝？」　小学生「11！」
「39917108 ー 38540656 ÷ 125132 ＝？」　小学生「11！」
「958003176 ー 958003152 ÷ 2 ＝？」　小学生「12！」
「718502382 ー 718502346 ÷ 3 ＝？」　小学生「12！」
「638668784 ー 638668736 ÷ 4 ＝？」　小学生「12！」
「598751985 ー 598751925 ÷ 5 ＝？」　小学生「12！」
「558835186 ー 558835102 ÷ 7 ＝？」　小学生「12！」
「518918387 ー 518918231 ÷ 13 ＝？」　小学生「12！」
「515847864 ー 515847696 ÷ 14 ＝？」　小学生「12！」
「507178152 ー 507177936 ÷ 18 ＝？」　小学生「12！」
「499827744 ー 499827456 ÷ 24 ＝？」　小学生「12！」
「497424726 ー 497424402 ÷ 27 ＝？」　小学生「12！」
「493089870 ー 493089450 ÷ 35 ＝？」　小学生「12！」
「491283680 ー 491283200 ÷ 40 ＝？」　小学生「12！」
「489414666 ー 489414102 ÷ 47 ＝？」　小学生「12！」
「488393776 ー 488393152 ÷ 52 ＝？」　小学生「12！」
「488213157 ー 488212521 ÷ 53 ＝？」　小学生「12！」
「486045729 ー 486044901 ÷ 69 ＝？」　小学生「12！」
「485943640 ー 485942800 ÷ 70 ＝？」　小学生「12！」
「485142634 ー 485141686 ÷ 79 ＝？」　小学生「12！」
「484208127 ー 484207011 ÷ 93 ＝？」　小学生「12！」
「483697682 ー 483696446 ÷ 103 ＝？」　小学生「12！」
「482472614 ー 482470946 ÷ 139 ＝？」　小学生「12！」
「482072111 ー 482070227 ÷ 157 ＝？」　小学生「12！」
「481349635 ー 481347175 ÷ 205 ＝？」　小学生「12！」
「481169016 ー 481166352 ÷ 222 ＝？」　小学生「12！」
「480737101 ー 480733777 ÷ 277 ＝？」　小学生「12！」
「480603600 ー 480600000 ÷ 300 ＝？」　小学生「12！」
「480226656 ー 480221952 ÷ 392 ＝？」　小学生「12！」
「480085302 ー 480079986 ÷ 443 ＝？」　小学生「12！」
「479802594 ー 479795406 ÷ 599 ＝？」　小学生「12！」
「479724064 ー 479716096 ÷ 664 ＝？」　小学生「12！」
「479614122 ー 479604726 ÷ 783 ＝？」　小学生「12！」
「479543445 ー 479532825 ÷ 885 ＝？」　小学生「12！」
「479535592 ー 479524816 ÷ 898 ＝？」　小学生「12！」
「479409944 ー 479395856 ÷ 1174 ＝？」　小学生「12！」
「479402091 ー 479387727 ÷ 1197 ＝？」　小学生「12！」
「479362826 ー 479346902 ÷ 1327 ＝？」　小学生「12！」
「479307855 ー 479289075 ÷ 1565 ＝？」　小学生「12！」
「479268590 ー 479247050 ÷ 1795 ＝？」　小学生「12！」
「479205766 ー 479177602 ÷ 2347 ＝？」　小学生「12！」
「479182207 ー 479150371 ÷ 2653 ＝？」　小学生「12！」
「479135089 ー 479092021 ÷ 3589 ＝？」　小学生「12！」
「479103677 ー 479047361 ÷ 4693 ＝？」　小学生「12！」
「479095824 ー 479034816 ÷ 5084 ＝？」　小学生「12！」
「479062584 ー 478968336 ÷ 7854 ＝？」　小学生「12！」
「479048706 ー 478926702 ÷ 10167 ＝？」　小学生「12！」
「479033000 ー 478850000 ÷ 15250 ＝？」　小学生「12！」
「479032086 ー 478843602 ÷ 15707 ＝？」　小学生「12！」
「479025147 ー 478781151 ÷ 20333 ＝？」　小学生「12！」
「479021920 ー 478739200 ÷ 23560 ＝？」　小学生「12！」
「479017294 ー 478651306 ÷ 30499 ＝？」　小学生「12！」
「479016837 ー 478639881 ÷ 31413 ＝？」　小学生「12！」
「479011754 ー 478446326 ÷ 47119 ＝？」　小学生「12！」
「479009441 ー 478277477 ÷ 60997 ＝？」　小学生「12！」
「479006671 ー 477875827 ÷ 94237 ＝？」　小学生「12！」
「479006280 ー 477781200 ÷ 102090 ＝？」　小学生「12！」
「479005176 ー 477403152 ÷ 133502 ＝？」　小学生「12！」
「479004240 ー 476836800 ÷ 180620 ＝？」　小学生「12！」
「479003934 ー 476553786 ÷ 204179 ＝？」　小学生「12！」
「479003382 ー 475799346 ÷ 267003 ＝？」　小学生「12！」
「479003152 ー 475327936 ÷ 306268 ＝？」　小学生「12！」
「479002914 ー 474668046 ÷ 361239 ＝？」　小学生「12！」
「479002784 ー 474196736 ÷ 400504 ＝？」　小学生「12！」
「479002761 ー 474102477 ÷ 408357 ＝？」　小学生「12！」
「479002485 ー 472594425 ÷ 534005 ＝？」　小学生「12！」
「479002472 ー 472500176 ÷ 541858 ＝？」　小学生「12！」
「479002370 ー 471651950 ÷ 612535 ＝？」　小学生「12！」
「479002251 ー 470332527 ÷ 722477 ＝？」　小学生「12！」
「479002186 ー 469390102 ÷ 801007 ＝？」　小学生「12！」